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(江苏版)高考数学二轮复习 (数学思想方法部分)专题5 常用的解题方法学案.doc

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2019-2020学年(江苏版)高考数学二轮复习 (数学思想方法部分)专题5 常用的解题方法学案 在考试说明中要求学生能够灵活运用所学的数学知识、思想方法,解决实际问题.纵观近五年高考对数学方法的考查是灵活多样的,总体上说有下列一些数学方法常被考到:数形结合法、换元法(代数换元、三角换元等)、反证法、特殊值法、待定系数法、配方法等. 1.(2012·苏北四市)若斜率为1的直线l与圆x2+y2=2相切,则l的方程为________.(待定系数法) 解析:设直线的方程为y=x+a,此直线和圆相切, 则=,得a=±2. 答案:x-y±2=0 2.已知f(x)=log3x+2,x∈[1,9],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是________.(换元配方法) 解析:∵函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为 ∴x∈[1,3],令log3x=t,t∈[0,1], ∴y=(t+2)2+2t+2=(t+3)2-3, ∴当t=1时,ymax=13. 答案:13 3.在三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱A1A和B1B上各一动点P,Q满足A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成两部分则其体积之比为________.(持例法) 解析:将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ,则有VC-A1AB=VA1-ABC=VABC-A1B1C1,VA1-BCC1B1=VABC-A1B1C1 答案:2∶1 4.(2012·南通三模)若动点P在直线l1:x-y-2=0上,动点Q在直线l2:x-y-6=0上,设线段PQ的中点为 M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+2)2≤8,则x+y的取值范围是________.(数形结合法) 解析:设点P(x1,y1)满足x1-y1-2=0,点Q(x2,y2)满足x2-y2-6=0,两式相加得:点M(x0,y0)轨迹是直线x0-y0-4=0;同时又要求点M(x0,y0)满足(x0-2)2+(y0+2)2≤8,所以满足条件的点M在定线段AB上.如图,x+y表示线段AB上的点M到原点距离MO的平方.MOmax=AO=4,MOmin=OC=2, 所以MO2∈[8,16]. 答案:[8,16] 5.(2012·金陵中学)定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=cf(x)(c为正常数);②当2≤x≤4时,f(x)=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上,则c=________.(综合法) 解析:当2≤x≤4时,极大值点为(3,1);当1≤x≤2时,f(x)=(1-|2x-3|),极大值点为,当4≤x≤8,f(x)=c,极值点为(6,c),由=得c=1或2. 答案:1或2    已知函数f(x)=2x2+mx+n,求证|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1.(反证法) [证明] 假设原命题不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1. 则⇒⇒ ①+③得-11<2m+n<-9, 与②矛盾,所以假设不成立, 即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1. 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”,它也是中学数学常用的解题方法.当要证结论中有“至少”等字样,或以否定形式给出时,一般可考虑采用反证法.    求证:是无理数.(反证法) 证明:假设是有理数, 则存在互质的整数m,n使得=, 则m=n,故m2=2n2. 所以m2是偶数,从而m必是偶数,故设m=2k(k∈N*). 从而有4k2=2n2,即n2=2k2. 则n2也是偶数,这与m,n互质矛盾. 所以假设不成立,是无理数.    已知a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.(比较法、分析法、综合法、换元法、数形结合法、构造向量法) [证明] 法一:(比较法)∵1-(ax+by)=(1+1)-(ax+by)=(a2+b2+x2+y2)-(ax+by) =[(a2-2ax+x2)+(b2-2by+y2)] =[(a-x)2+(b-y)2]≥0,所以ax+by≤1 法二:(分析法)要证ax+by≤1. 只需证1-(ax+by)≥0, 即2-2(ax+by)≥0, 因为a2+b2=1,x2+y2=1. 所以只需证(a2+b2+x2+y2)-2(ax+by)≥0, 即(a-x)2+(b-y)2≥0. 因为最后的不等式成立, 所以原不等式成立. 法三:(综合法)∵ax≤,by≤, ∴ax+by≤+=1. 即ax+by≤1. 法四:(三角换元法)∵a2+b2=1,x2+y2=1, ∴可设a=sin α,b=cos α,x=sin β,y=cos β. ∴ax+by=sin αsin β+cos αcos β=cos(α-β)≤1, 法五:(数形结合法)(如图)因为直线l:ax+by=0经过圆x2+y2=1的圆心O,所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1, 即d==|ax+by|≤1 ⇒ax+by≤1. 法六:(构造向量法):设α=(a,b),β=(x,y),由向量数量积的性质知|α·β|≤|α||β|, 即|ax+by|≤ =1, 所以ax+by≤1. 六种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应该掌握的重要方法.除了证法三的方法有适应条件的限制这种局限外,其余证法都是好方法.可在具体应用过程中,根据题目的变化需要适当进行选择.    已知x+y=1,求x2+y2的最小值.(综合法、配方法、数形结合法) 解:法一:∵x+y=1,∴y=1-x. x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=22+. ∴当x=时,x2+y2取最小值. ∴x2+y2的最小值为. 法二:∵x+y=1,∴(x+y)2=1,即x2+y2=1-2xy. ∵2xy≤x2+y2,∴x2+y2≥1-(x2+y2). 即x2+y2≥,当且仅当x=y=时取等号. ∴x2+y2的最小值为. 法三:设z=x2+y2. ∵x+y=1,∴z=x2+y2-x-y+1=2+2+≥. ∴当x=y=时,z最小=,即x2+y2的最小值为. 法四:如图,x+y=1表示直线l,x2+y2表示原点到直线l上的点P(x,y)到原点的距离的平方.显然其中以原点到直线l的距离最短. 此时,d==,即()最小=.所以x2+y2的最小值为.    已知△ABC中满足()2=·+·+·,a、b、c分别是△ABC的三边. (1)试判断△ABC的形状并求sin A+sin B的取值范围; (2)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc对任意的a、b、c都成立,求k的取值范围.(换元法) [解] (1)∵()2=·+·+· =·(+)+·, =·+·, ∴·=0,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形, ∴sin A+sin B=sin A+cos A=sin,A∈,∴sin A+sin B的取值范围为. (2)在直角△ABC中,a=csin A,b=ccos A. 若a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc对任意的a、b、c都成立, 则有≥k对任意的a、b、c都成立, =·[c2sin2A(ccos A+c)+c2cos2A(csin A+c)+c2(csin A+ccos A)] =(sin2Acos A+cos2Asin A+1+cos A+sin A)=cos A+sin A+. 令t=sin A+cos A,t∈(1,], 设f(t)==t+ =t+=t-1++1, 当t-1∈(0,-1]上时f(t)为单调递减函数, 所以当t=时取得最小值,最小值为2+3, 即k≤2+3,所以k的取值范围为(-∞,2+3]. 当三角函数问题中sin θ±cos θ与sin θcos θ同时出现时,常令sin θ±cos θ=t,进行换元,转化为二次函数.    求函数y=x+的值域.(换元法) 解:令x=cos θ(0≤θ≤π), ∴y=cos θ+sin θ=sin. ∴θ=时,y有最大值; 当θ=π时,y有最小值-1. ∴所求函数的值域是[-1, ].                   从考试的角度来看,解填空题只要做对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的,所以可以“不择手段”.但平时做题时要尽量用通性通法,这有利于对基础知识的巩固.另外,在解答一道题时,可以同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确和快速. 1.已知变量a,θ∈R,则(a-2cos θ)2+(a-5-2sin θ)2的最小值为________. 解析:(a,a-5)在直线x-y-5=0上,点(2cos θ,2sin θ)在圆x2+y2=4上,圆心到直线x-y-5=0的距离为5,则圆上点到直线距离最小值为3,故所求的最小值为9. 答案:9 2.已知实数x,y满足(x-3)2+y2=3,则的最大值是________. 解析:可看作是过点P(x,y)与M(1,0)的直线的斜率,其中点P在圆(x-3)2+y2=3上,如图,当直线处于图中切线位置时,斜率最大,最大值为tan θ=. 答案: 3.不等式0≤x2-ax+a≤1的解集是单元素集,则a的值为________. 解析:画图(如右图),可知当函数y=x2-ax+a的最小值为1时满足题意.可得=1,解得a=2. 答案:2 4.若关于x的方程 =kx+2有惟一解,则实数k的集合为________. 解析:如图,设f(x)=,g(x)=kx+2,f(x)图象是半圆,g(x)图象是经过(0,2)的直线系,当直线与半圆相切时,k=±满足题意;当直线在点(-1,0)与(1,0)之间旋转,即k<-2或k>2时也满足题意. 答案:{k|k<-2,或k>2,或k=±} ] 5.对a,b∈R,记max{a,b}=那么函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________. 解析:函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为. 答案: 6.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别为p、q,则+=________. 解析:设k=0,因抛物线焦点坐标为,把直线方程y=代入抛物线方程得x=±, 所以PF=FQ=,从而+=4a. 答案:4a 7.已知函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x2-x1|的最小值为________. 解析:依题意知,当sin x-cos x≥0,即sin x≥cos x时,f(x)=2sin x;当sin x-cos x<0,即sin x<cos x时,f(x)=2cos x.f(x1),f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值,在坐标系中画出函数y=f(x)的图象,结合图象可知,|x2-x1|的最小值为. 答案: 8.把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过,那么正方形窗口的边长至少应为________. 解析:由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小,所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图:设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y, ∴即 ∴AB=x+y=10+=. 答案: 9.(2012·泰州期末)设实数a≥1,使得不等式x|x-a|+≥a,对任意的实数x∈[1,2]恒成立,则满足条件的实数a的范围是________. 解析:当a≤时,不等式x|x-a|+≥a,对任意的实数x∈[1,2]恒成立, 当a>时,将不等式化为|x-a|≥,作出函数y=|x-a|,y=(1≤x≤2)的图象,如图, 不等式x|x-a|+≥a,对任意的实数x∈[1,2]恒成立的条件是,函数y=|x-a|的图象全部落在函数y=(1≤x≤2)的图象的上方,由解得a≥. 综上所述,实数a的范围是∪. 答案:∪ 10.(2012·南通三模)若函数f(x)=|2x-1|,则函数g(x)=f(f(x))+ln x在(0,1)上不同的零点个数为________. 解析:考虑函数y=f(f(x))=|2|2x-1|-1|与y=-ln x的图象交点的个数. 而函数y=|2|2x-1|-1|= 由图象易得交点个数为3. 答案:3 11.(2012·盐城一中)已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2. (1)求实数u的取值范围; (2)求使不等式≥2恒成立的k的取值范围. 解:(1)由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2, 所以解得0<u≤, 即实数u的取值范围是. (2)=x1x2+-=u-+2. 令f(u)=u-+2(u>0), 所以f′(u)=1+, (ⅰ)若k≥1,因为0<u≤,所以f′(u)>0,从而f(u)在为增函数,所以u-+2≤f=-+2=2, 即≥2不恒成立. (ⅱ)若0<k<1,由f′(u)=1+=0, 得u= , 当u∈(0,),f′(u)<0;当u∈(,+∞),f′(u)>0, 所以函数f(u)在(0,]上递减,在[,+∞)上递增, 要使函数f(u)在上恒有f(u)≥f,必有≥, 即k4+16k2-16≤0,解得0<k≤2. 综上,k的取值范围是(0,2 ]. 12.(2012·南师大信息卷)定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+x+ax2. (1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由; (2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围. 解:(1)a=-1时,f(x)=1+x-x2= -2+, 所以f(x)在x∈(-∞,0)上单调递增, 故f(x)<-2+=1, 故函数f(x)在(-∞,0)上的值域为(-∞,1). 又∵f(x)<1,∴|f(x)|∈[0,+∞), ∴不存在常数M>0,使|f(x)|≤M都成立. 故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)若函数f(x)在[1,4]上是以3为上界的有界函数, 则|f(x)|≤3在[1,4]上恒成立. 即-3≤f(x)≤3,故-3≤1+x+ax2≤3, ≤a≤, 即-≤a≤-在x∈[1,4]上恒成立. 所以max≤a≤min. 令=t,则t∈, ∴(-4t2-t)max≤a≤(2t2-t)min,t∈. 令g(t)=-4t2-t, 则g(t)=-42+∈. 令h(t)=2t2-t, 则h(t)=22-∈. ∴实数a的取值范围为.
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更新时间:2024-01-03 17:15:30

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