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小学奥数所有知识点大汇总(最全)

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1.和差倍问题   和差问题和倍问题差倍问题   已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数   一、和差倍问题 (一)和差问题:已知两个数的和及两个数的差,求这两个数。   方法①:(和-差)÷2=  较小数,和-较小数=较大数   方法②:(和+ 差)÷2=较大数,和- 较大数=较小数   例如:两个数的和是15,差是5,求这两个数。   方法:(15-5)÷2=5 ,(15+5)÷2=10 . (二) 和倍问题:已知两个数的和及这两个数的倍数关系,求这两个数。   方法:和÷(倍数+1)=1倍数(较小数)   1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数)   或  和-1 倍数(较小数)= 几倍数(较大数)   例如:两个数的和为50,大数是小数的4倍,求这两个数。   方法:50÷(4+1)=10   10×4=40 (三)差倍问题:已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数。   方法:差÷(倍数-1 )=1倍数(较小数)   1倍数(较小数)×倍数=几倍数(较大数)   或  和-倍数(较小数)=几倍数(较大数)   例如:两个数的差为80,大数是小数的5倍,求这两个数。   方法: 80÷(5-1)=20   20×5=100   和与差和与倍数差与倍数   2.年龄问题的三个基本特征:   ①两个人的年龄差是不变的;   ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;   ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量;   解答年龄问题的一般方法是:   几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄,   几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差.   3.归一问题的基本特点:问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。   关键问题:根据题目中的条件确定并求出单一量;   4.植树问题   基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题   (一)不封闭型(直线)植树问题   1、直线两端植树: 棵数=段数+1=全长÷株距+1 ;   全长=株距×(棵数-1 );   株距=全长÷(棵数-1 );   2、 直线一端植树: 全长=株距×棵数;   棵数=全长÷株距;   株距=全长÷棵数;   3 、直线两端都不植树: 棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;   株距=全长÷(棵数+1 );   (二)封闭型(圆、三角形、多边形等)植树问题   棵数=总距离÷棵距;   总距离=棵数×棵距;   棵距=总距离÷棵数.   5.鸡兔同笼问题   基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;   基本思路:   ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):   ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;   ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;   ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。   基本公式:   ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)   ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)   关键问题:找出总量的差与单位量的差。 【鸡兔问题公式】   (1)已知总头数和总脚数,求鸡、兔各多少:   (总脚数-每只鸡的脚数×总头数)÷(每只兔的脚数-每只鸡的脚数)=兔数;   总头数-兔数=鸡数。   或者是(每只兔脚数×总头数-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)=鸡数;   总头数-鸡数=兔数。   例如,“有鸡、兔共36只,它们共有脚100只,鸡、兔各是多少只?”   解一 (100-2×36)÷(4-2)=14(只)………兔;   36-14=22(只)……………………………鸡。   解二 (4×36-100)÷(4-2)=22(只)………鸡;   36-22=14(只)…………………………兔。   (答 略)   (2)已知总头数和鸡兔脚数的差数,当鸡的总脚数比兔的总脚数多时,可用公式   (每只鸡脚数×总头数-脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;   总头数-兔数=鸡数   或(每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只免的脚数)=鸡数;   总头数-鸡数=兔数。(例略)   (3)已知总数与鸡兔脚数的差数,当兔的总脚数比鸡的总脚数多时,可用公式。   (每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=兔数;   总头数-兔数=鸡数。   或(每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡的脚数+每只兔的脚数)=鸡数;   总头数-鸡数=兔数。(例略)   (4)得失问题(鸡兔问题的推广题)的解法,可以用下面的公式:   (1只合格品得分数×产品总数-实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。或者是总产品数-(每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数)÷(每只合格品得分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数。   例如,“灯泡厂生产灯泡的工人,按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合格?”   解一 (4×1000-3525)÷(4+15)   =475÷19=25(个)   解二 1000-(15×1000+3525)÷(4+15)   =1000-18525÷19   =1000-975=25(个)(答略)   (“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给运费××元,破损者不仅不给运费,还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。)   (5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔各多少的问题),可用下面的公式:   〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数和)+(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;   〔(两次总脚数之和)÷(每只鸡兔脚数之和)-(两次总脚数之差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=兔数。   例如,“有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只。鸡兔各是多少只?”   解 〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2   =20÷2=10(只)……………………………鸡   〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2   =12÷2=6(只)…………………………兔(答略)   鸡兔同笼,这是一个古老的数学问题,在现实生活中也是普遍存在的.重点掌握鸡兔同笼问题的解法--假设法,并会将这种方法应用到一些实际问题中.   解鸡兔同笼问题的基本关系式是:   鸡数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)   兔数=鸡兔总数-鸡数   当然,也可以先假设全是鸡,那么就有:   兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)   鸡数=鸡兔总数-兔数 6.盈亏问题   基本思路:先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.  按不同的方法分配物品时,经常发生不能均分的情况.如果有物品剩余就叫盈,如果物品不够就叫亏,这就是盈亏问题的含义.   一般地,一批物品分给一定数量的人,第一种分配方法有多余的物品(盈),第二种分配方法则不足(亏),当两种分配方法相差n个物品时,那就有:   盈数+亏数= 人数×n ,   这是关于盈亏问题很重要的一个关系式.   解盈亏问题的窍门可以用下面的公式来概括:   (盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数,   (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数,   (亏 -亏)÷两次分得之差= 人数或单位数.   解盈亏问题的关键是要找到:什么情况下会盈,盈多少?什么情况下"亏","亏"多少?找到盈亏的根源和几次盈亏结果不同的原因.   另外在解题后,应进行验算.   基本特点:对象总量和总的组数是不变的。   关键问题:确定对象总量和总的组数。   7.牛吃草问题   基本思路:假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。   基本特点:原草量和新草生长速度是不变的;   关键问题:确定两个不变的量。   基本公式:   生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);   总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;   8.周期循环与数表规律   周期现象:事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。   周期:我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。   关键问题:确定循环周期。   闰年:一年有366天;   ①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;   平年:一年有365天。   ①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;   9.平均数   基本公式:①平均数=总数量÷总份数   总数量=平均数×总份数   总份数=总数量÷平均数   ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数   基本算法:   ①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.   ②基准数法:根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。   10.抽屉原理   抽屉原则一:如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。   例:把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:   ①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1   观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。   抽屉原则二:如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:   ①k=[n/m]+1个物体:当n不能被m整除时。   ②k=n/m个物体:当n能被m整除时。   理解知识点:[X]表示不超过X的最大整数。   例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;   关键问题:构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。 10.1、方阵问题   在方阵问题中,横的排叫做行,竖的排叫做列,如果行数和列数都相等,则正好排成一个正方形,就是所谓的"方阵"。   方阵的基本特点是:   ①方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层,每边上的人数就少2 ,每层总数就少8 .   ②每边人(或物)数和每层总数的关系:   每层总数=[每边人(或物)数1]×4 ; 每边人(或物)数=每层总数÷4+1 .   ③实心方阵:总人(或物)数=每边人(或物)数×每边人(或物)数.  11.定义新运算   基本概念:定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。   基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。   关键问题:正确理解定义的运算符号的意义。   注意事项:①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。   ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。   12.数列求和   等差数列:在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。   基本概念:首项:等差数列的第一个数,一般用a1表示;   项数:等差数列的所有数的个数,一般用n表示;   公差:数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;   通项:表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;   数列的和:这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.   基本思路:等差数列中涉及五个量:a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。   基本公式:通项公式:an=a1+(n-1)d;   通项=首项+(项数一1)公差;   数列和公式:sn,=(a1+an)n2;   数列和=(首项+末项)项数2;   项数公式:n=(an+a1)d+1;   项数=(末项-首项)公差+1;   公差公式:d=(an-a1))(n-1);   公差=(末项-首项)(项数-1);   关键问题:确定已知量和未知量,确定使用的公式;   13.二进制及其应用   十进制:用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2102+310+4。   =An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+……+A3102+A2101+A1100   注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)   二进制:用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。   (2)=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7   +……+A322+A221+A120   注意:An不是0就是1。   十进制化成二进制:   ①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。   ②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。   14.加法乘法原理和几何计数 m2.......完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:m1+m2.......+mn种不同的方法。   关键问题:确定工作的分类方法。   基本特征:每一种方法都可完成任务。 m2.......完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:m1×m2.......×mn种不同的方法。   关键问题:确定工作的完成步骤。   基本特征:每一步只能完成任务的一部分。   直线:一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。   直线特点:没有端点,没有长度。   线段:直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。   线段特点:有两个端点,有长度。   射线:把直线的一端无限延长。   射线特点:只有一个端点;没有长度。   ①数线段规律:总数=1+2+3+…+(点数一1);   ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);   ③数长方形规律:个数=长的线段数×宽的线段数:   ④数长方形规律:个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数   15.质数与合数   质数:一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。   合数:一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。   质因数:如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。   分解质因数:把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。   分解质因数的标准表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<a2<a3<……<an。   求约数个数的公式:P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)   互质数:如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。  16.约数与倍数   约数和倍数:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。   公约数:几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。   最大公约数的性质:   1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。   2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。   3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。   4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。   例如:12的约数有1、2、3、4、6、12;   18的约数有:1、2、3、6、9、18;   那么12和18的公约数有:1、2、3、6;   那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6;   求最大公约数基本方法:   1、分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。   2、短除法:先找公有的约数,然后相乘。   3、辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。   公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。   12的倍数有:12、24、36、48……;   18的倍数有:18、36、54、72……;   那么12和18的公倍数有:36、72、108……;   那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;   最小公倍数的性质:   1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。   2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。   求最小公倍数基本方法:1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法   17.数的整除   一、基本概念和符号:   1、整除:如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。   2、常用符号:整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;   二、整除判断方法:   1.能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。   2.能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。   3.能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。   4.能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。   5.能被7整除:   ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。   ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。   6.能被11整除:   ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。   ②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。   ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。   7.能被13整除:   ①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。   ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。   三、整除的性质:   1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。   2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。   3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。   4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。   18.余数及其应用   基本概念:对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数,q叫做a除以b的不完全商。   余数的性质:   ①余数小于除数。   ②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。   ③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。   ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。   19.余数、同余与周期   一、同余的定义:   ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。   ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。   二、同余的性质:   ①自身性:a≡a(modm);   ②对称性:若a≡b(modm),则b≡a(modm);   ③传递性:若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);   ④和差性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);   ⑤相乘性:若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);   ⑥乘方性:若a≡b(modm),则an≡bn(modm);   ⑦同倍性:若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);   三、关于乘方的预备知识:   ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b   ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md   四、被3、9、11除后的余数特征:   ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);   ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);   五、费尔马小定理:如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。   20.分数与百分数的应用   基本概念与性质:   分数:把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。   分数的性质:分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。   分数单位:把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。   百分数:表示一个数是另一个数百分之几的数。   常用方法:   ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。   ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。   ③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。   ④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。   ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。   ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。   ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。   ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21.分数大小的比较   基本方法:   ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。   ②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。   ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。   ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。   ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)   ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。   ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。   ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。   ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。   ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。   22.分数拆分   一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:   ①=+;   ②=+(d为自然数);   23.完全平方数   完全平方数特征:   1.末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。   2.除以3余0或余1;反之不成立。   3.除以4余0或余1;反之不成立。   4.约数个数为奇数;反之成立。   5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。   6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。   7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。   平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)   完全平方和公式:(X+Y)2=X2+2XY+Y2   完全平方差公式:(X-Y)2=X2-2XY+Y2   24.比和比例   比:两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。   比值:比的前项除以后项的商,叫做比值。   比的性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。   比例:表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或   比例的性质:两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。   正比例:若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。   反比例:若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时),则A与B成反比。   比例尺:图上距离与实际距离的比叫做比例尺。   按比例分配:把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配。   25.综合行程   基本概念:行程问题是研究物体运动的,它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.   基本公式:路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间   关键问题:确定运动过程中的位置和方向。   相遇问题:速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)   追及问题:追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)   流水问题:顺水行程=(船速+水速)×顺水时间   逆水行程=(船速-水速)×逆水时间   顺水速度=船速+水速   逆水速度=船速-水速   静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2   水速=(顺水速度-逆水速度)÷2   流水问题:关键是确定物体所运动的速度,参照以上公式。   过桥问题:关键是确定物体所运动的路程,参照以上公式。   主要方法:画线段图法   基本题型:已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。 26.工程问题   基本公式:   ①工作总量=工作效率×工作时间   ②工作效率=工作总量÷工作时间   ③工作时间=工作总量÷工作效率   基本思路:   ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关);   ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间.   关键问题:确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。   经验简评:合久必分,分久必合。   27.逻辑推理   基本方法简介:   ①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。   ②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。   ③条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。   ④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。   ⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。   28.几何面积   基本思路:   在一些面积的计算上,不能直接运用公式的情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。   常用方法:   1.连辅助线方法   2.利用等底等高的两个三角形面积相等。   3.大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。   4.利用特殊规律   ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以4等于等腰直角三角形的面积)   ②梯形对角线连线后,两腰部分面积相等。   ③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。   29.立体图形   长方体   8个顶点;6个面;相对的面相等;12条棱;相对的棱相等;S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh   正方体   8个顶点;6个面;所有面相等;12条棱;所有棱相等;S=6a2V=a3   圆柱体   上下两底是平行且相等的圆;侧面展开后是长方形;S=S侧+2S底S侧=ChV=Sh   圆锥体   下底是圆;只有一个顶点;l:母线,顶点到底圆周上任意一点的距离;S=S侧+S底   S侧=rlV=Sh   球体圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2V=r3   30.时钟问题—快慢表问题   基本思路:   1、按照行程问题中的思维方法解题;   2、不同的表当成速度不同的运动物体;   3、路程的单位是分格(表一周为60分格);   4、时间是标准表所经过的时间;   合理利用行程问题中的比例关系; 五、流水行船奥数知识点
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