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人教版七年级数学上册复习提纲.doc

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七年级数学上册复习提纲 第一章 有理数 1.1 正数与负数 ①正数:大于0的数叫正数。(根据需要,有时在正数前面也加上“+”) ②负数:在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。 ③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界,是唯一的中性数。 注意:搞清相反意义的量:南北;东西;上下;左右;上升下降;高低;增长减少等 1.2 有理数 1.有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数(integer), (2)分数;正分数和负分数统称分数(fraction)。 (3)有理数;整数和分数统称有理数(rational number). 以用m/n(其中m,n是整数,n≠0)表示有理数。 2.数轴 (1)定义 :通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴(number axis)。 (2)数轴三要素:原点、正方向、单位长度。 (3)原点:在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点(origin)。 (4)数轴上的点和有理数的关系: 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点,不都是表示有理数。 只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例:2的相反数是-2;0的相反数是0) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。从几何意义上讲,数的绝对值是两点间的距离。 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数,绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 ①有理数加法法则: 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加,仍得这个数。 加法的交换律和结合律 ②有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法 ①有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。 乘积是1的两个数互为倒数。乘法交换律/结合律/分配律 ②有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数。 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数,都得0。 1.5 有理数的乘方 求n个相同因数的积的运算,叫乘方,乘方的结果叫幂(power)。在a的n次方中,a叫做底数(base number),n叫做指数(exponent)。负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0。 有理数的混合运算法则:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。 把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式,使用的就是科学计数法,注意a的范围为1≤a <10。 从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字(significant digit)。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始,而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如:3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55. 第二章 整式的加减 2.1 整式 单项式:由数字和字母乘积组成的式子。系数,单项式的次数. 单项式指的是数或字母的积的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式.因此,判断代数式是否是单项式,关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母,若式子中含有加、减运算关系,其也不是单项式. 单项式的系数:是指单项式中的数字因数; 单项数的次数:是指单项式中所有字母的指数的和. 多项式:几个单项式的和。判断代数式是否是多项式,关键要看代数式中的每一项是否是单项式.每个单项式称项,常数项,多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数,这里是次数最高项,其次数是6;多项式的项是指在多项式中,每一个单项式.特别注意多项式的项包括它前面的性质符号. 它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。 单项式和多项式统称为整式。 2.2整式的加减 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。 同类项必须同时满足两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同,二者缺一不可.同类项与系数大小、字母的排列顺序无关 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律,结合律和分配律。 合并同类项法则: 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变; 字母的升降幂排列:按某个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列。 如果括号外的因数是正(负)数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同(反)。 整式加减的一般步骤: 1、如果遇到括号按去括号法则先去括号. 2、结合同类项. 3、合并同类项 2.3整式的乘法法则 : 单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式 ; 单项式和多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每项,再把所得的积相加。 多项式和多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 2.4整式的除法法则 单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。 第三章 一元一次方程 3.1 一元一次方程 方程是含有未知数的等式。 方程都只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。 注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点: 1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程); 2)化简后方程中只含有一个未知数; 3)经整理后方程中未知数的次数是1. 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解(solution)。 等式的性质: 1)等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子(整式或分式),等式不变(结果仍相等). 2)等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数,等式不变. 注意:运用性质时,一定要注意等号两边都要同时变;运用性质2时,一定要注意0这个数. 3.2 解一元一次方程(一)----合并同类项与移项 一般步骤:移项→合并同类项→系数化1;(可以省略部分) 了解无限循环小数化分数的方法,从而证明它是分数,也就是有理数。 3.3 解一元一次方程(二)----去括号与去分母 一般步骤:去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)→去括号→移项→合并同类项→系数化1; 以上是解一元一次方程五个基本步骤,在实际解方程的过程中,五个步骤不一定完全用上,或有些步骤还需要重复使用. 因此,解方程时,要根据方程的特点,灵活选择方法. 在解方程时还要注意以下几点: ①去分母,在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘不含分母的项;分子是一个整体,去分母后应加上括号;去分母与分母化整是两个概念,不能混淆; ②去括号遵从先去小括号,再去中括号,最后去大括号 不要漏乘括号的项;不要弄错符号; ③移项 把含有未知数的项移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(移项要变符号) 移项要变号; ④不要丢项合并同类项,解方程是同解变形,每一步都是一个方程,不能像计算或化简题那样写能连等的形式. ⑤把方程化成ax=b(a≠0)的形式 字母及其指数不变系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解不要分子、分母搞颠倒 3.4 实际问题与一元一次方程 一.概念梳理 ⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是: ①审题,特别注意关键的字和词的意义,弄清相关数量关系, ②设出未知数(注意单位), ③根据相等关系列出方程, ④解这个方程, ⑤检验并写出答案(包括单位名称). ⑵一些固定模型中的等量关系: ①数字问题:表示一个三位数,则有 ②行程问题:甲乙同时相向行走相遇时:甲走的路程+乙走的路程=总路程 甲走的时间=乙走的时间; 甲乙同时同向行走追及时:甲走的路程-乙走的路程=甲乙之间的距离 ③工程问题:各部分工作量之和 = 总工作量; ④储蓄问题:本息和=本金+利息 ⑤商品销售问题:商品利润=商品售价-商品成本价=商品利润率×商品成本价或商品售价=商品成本价×(1+利润率) ⑥产油量=油菜籽亩产量X含油率X种植面积 二、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结) ⑴建模思想:通过对实际问题中的数量关系的分析,抽象成数学模型,建立一元一次方程的思想. ⑵方程思想:用方程解决实际问题的思想就是方程思想. ⑶化归思想:解一元一次方程的过程,实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形,不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程,最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想. ⑷数形结合思想:在列方程解决问题时,借助于线段示意图和图表等来分析数量关系,使问题中的数量关系很直观地展示出来,体现了数形结合的优越性. ⑸分类思想:在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论,在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 三、典型例题 例1. 已知方程2xm-3+3x=5是一元一次方程,则m= . 解:由一元一次方程的定义可知m-3=1,解得m=4.或m-3=0,解得m=3 所以m=4或m=3 警示:很多同学做到这种题型时就想到指数是1,从而写成m=1,这里一定要注意x的指数是(m-3). 例2. 已知是方程ax2-(2a-3)x+5=0的解,求a的值. 解:∵x=-2是方程ax2-(2a-3)x+5=0的解 ∴将x=-2代入方程, 得 a·(-2)2-(2a-3)·(-2)+5=0 化简,得 4a+4a-6+5=0 ∴ a= 点拨:要想解决这道题目,应该从方程的解的定义入手,方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值,这样把x=-2代入方程,然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2(x+1)-3(4x-3)=9(1-x). 解:去括号,得 2x+2-12x+9=9-9x, 移项,得 2+9-9=12x-2x-9x. 合并同类项,得 2=x,即x=2. 点拨:此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边,已知项移到方程的右边,其实,我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正,为了减少计算的难度,我们可以根据等式的对称性,把所有的未知项移到右边去,已知项移到方程的左边,最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 . 解析:方程两边乘以8,再移项合并同类项,得 同样,方程两边乘以6,再移项合并同类项,得 方程两边乘以4,再移项合并同类项,得 方程两边乘以2,再移项合并同类项,得x=3. 说明:解方程时,遇到多重括号,一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号,而本题最简捷的方法却不是这样,是通过方程两边分别乘以一个数,达到去分母和去括号的目的。 例5. 解方程. 解析:方程可以化为 整理,得 去括号移项合并同类项,得 -7x=11,所以x=. 说明:一见到此方程,许多同学立即想到老师介绍的方法,那就是把分母化成整数,即各分数分子分母都乘以10,再设法去分母,其实,仔细观察这个方程,我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位,第一个分数分子分母都乘以2,第二个分数分子分母都乘以5,第三个分数分子分母都乘以10. 例6. 解方程 解析:原方程可化为 方程即为 所以有 再来解之,就能很快得到答案: x=3. 知识链接:此题如果直接去分母,或者通分,数字较大,运算烦琐,发现分母6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,联系到我们小学曾做过这样的分式化简题,故采用拆项法解之比较简便. 例7. 参加某保险公司的医疗保险,住院治疗的病人可享受分段报销,保险公司制度的报销细则如下表,某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元,那么此人的实际医疗费是( ) 住院医疗费(元) 报销率(%) 不超过500的部分 0 超过500~1000的部分 60 超过1000~3000的部分 80 …… …  A. 2600元 B. 2200元 C. 2575元 D. 2525元 解析:设此人的实际医疗费为x元,根据题意列方程,得 500×0+500×60%+(x-500-500) ×80%=1260. 解之,得x=2200,即此人的实际医疗费是2200元. 故选B. 点拨:解答本题首先要弄清题意,读懂图表,从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的. 因为500×60%<1260<2000×80%,所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算. 例8. 我市某县城为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段计费方式收取水费:若每月用水不超过7立方米,则按每立方米1元收费;若每月用水超过7立方米,则超过部分按每立方米2元收费. 如果某户居民今年5月缴纳了17元水费,那么这户居民今年5月的用水量为__________立方米. 解析:由于1×7<17,所以该户居民今年5月的用水量超标. 设这户居民5月的用水量为x立方米,可得方程:7×1+2(x-7)=17, 解得x=12. 所以,这户居民5月的用水量为12立方米. 例9. 足球比赛的记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分,请问: ⑴前8场比赛中,这支球队共胜了多少场? ⑵这支球队打满14场比赛,最高能得多少分? ⑶通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标? 解析:⑴设这个球队胜了x场,则平了(8-1-x)场,根据题意,得 3x+(8-1-x)=17. 解得x=5. 所以,前8场比赛中,这个球队共胜了5场. ⑵打满14场比赛最高能得17+(14-8)×3=35分. ⑶由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可. ∴胜不少于4场,一定能达到预期目标. 而胜了3场,平3场,正好达到预期目标. 所以在以后的比赛中,这个球队至少要胜3场. 例10. 国家为了鼓励青少年成才,特别是贫困家庭的孩子能上得起大学,设置了教育储蓄,其优惠在于,目前暂不征收利息税. 为了准备小雷5年后上大学的学费6000元,他的父母现在就参加了教育储蓄,小雷和他父母讨论了以下两种方案: ⑴先存一个2年期,2年后将本息和再转存一个3年期; ⑵直接存入一个5年期. 你认为以上两种方案,哪种开始存入的本金较少? [教育储蓄(整存整取)年利率一年:2. 25%;二年:2. 27%;三年:3. 24%;五年:3. 60%. ] 解析:了解储蓄的有关知识,掌握利息的计算方法,是解决这类问题的关键,对于此题,我们可以设小雷父母开始存入x元. 然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少. ⑴2年后,本息和为x(1+2. 70%×2)=1. 054x; 再存3年后,本息和要达到6000元,则1. 054x(1+3. 24%×3)=6000. 解得 x≈5188. ⑵按第二种方案,可得方程 x(1+3. 60%×5)=6000. 解得 x≈5085. 所以,按他们讨论的第二种方案,开始存入的本金比较少. 例11. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多4,求这种药品包装盒的体积. 分析:从展开图上的数据可以看出,展开图中两高与两宽和为14cm,所以一个宽与一个高的和为7cm,如果设这种药品包装盒的宽为xcm,则高为(7-x)cm,因为长比宽多4cm,所以长为(x+4)cm,根据展开图可知一个长与两个高的和为13cm,由此可列出方程. 解:设这种药品包装盒的宽为xcm,则高为(7-x)cm,长为(x+4)cm. 根据题意,得(x+4)+2(7-x)=13, 解得 x=5,所以7-x=2,x+4=9. 故长为9cm,宽为5cm,高为2cm. 所以这种药品包装盒的体积为:9×5×2=90(cm3). 例12. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得 (1+x)(1-5%)=1+14% 解得x=20% 答:这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%. 点评:本题是一道增长率的应用题. 本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用,也就是本月的石油进口量乘以本月的价格. 设出未知数,分别表示出每一个数量,列出方程进行求解. 列方程解应用题的关键是找对等量关系,然用代数式表示出其中的量,列方程解答. 例13. 某市参加省初中数学竞赛的选手平均分数为78分,其中参赛的男选手比女选手多50%,而女选手的平均分比男选手的平均分数高10%,那么女选手的平均分数为____________. 解析:总平均分数和参赛选手的人数及其得分有关. 因此,必须增设男选手或女选手的人数为辅助未知数. 不妨设男选手的平均分数为x分,女选手的人数为a 人,那么女选手的平均分数为1. 1x分,男选手的人数为1. 5a人,从而可列出方程,解得x=75,所以1. 1x=82. 5. 即女选手的平均分数为82. 5分. 四、数学思想方法的学习 1. 解一元一次方程时,要明确每一步过程都作什么变形,应该注意什么问题. 2. 寻找实际问题的数量关系时,要善于借助直观分析法,如表格法,直线分析法和图示分析法等. 3. 列方程解应用题的检验包括两个方面:⑴检验求得的结果是不是方程的解;⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义. 【模拟试题】 一、选择题: 1. 几个同学在日历纵列上圈出了三个数,算出它们的和,其中错误的一个是( ) A、28 B、33 C、45 D、57 2. 已知y=1是方程2-的解,则关于x的方程m(x+4)=m(2x+4)的解是( ) A、x=1 B、x=-1 C、x=0 D、方程无解 3 某种商品的进价为1200元,标价为1750元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润不低于﹪,则至多可打( ) A、6折 B、7折 C、8折 D、9折 4. 下列说法中,正确的是( ) A、代数式是方程 B、方程是代数式 C、等式是方程 D、方程是等式 5. 一个数的与2的差等于这个数的一半.这个数是( ) A、12 B、–12 C、18 D、–18 6. 母亲26岁结婚,第二年生了儿子,若干年后,母亲的年龄是儿子的3倍. 此时母亲的年龄为( ) A、39岁 B、42岁 C、45岁 D、48岁 7. A、B两地相距240千米,火车按原来的速度行驶需要4小时到达目的地,火车提速后,速度比原来加快30%,那么提速后只需要( )即可到达目的地。 A、小时 B、小时 C、小时 D、小时 二、填空题 8. 已知甲数比乙数的2倍大1,如果设甲数为x,那么乙数可表示为_____;如果设乙数为y,那么甲数可表示为_________. 9. 欢欢的生日在8月份.在今年的8月份日历上,欢欢生日那天的上、下、左、右4个日期的和为76,那么欢欢的生日是该月的 号. 10. 从甲地到乙地,公共汽车原需行驶7小时,开通高速公路后,车速平均每小时增加了20千米,只需5小时即可到达。甲乙两地的路程是 ; 三、解答题 11. 解下列方程 (1) (2) 12. 一家商店将某型号彩电先按原售价提高40﹪,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”. 经顾客投诉后,执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款. 求每台彩电的原价格. 13. 小明的爸爸三年前为小明存了一份 3000元的教育储蓄. 今年到期时取出,得本利和为3243元. 请你帮小明算一算这种储蓄的年利率. 14. 在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下: 甲同学说:“二环路车流量为每小时10 000辆”. 乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”. 丙同学说:“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”. 请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少? 【试题答案】 1. A. [提示:日历上纵列上的三个数的和是中间一个数的3倍] 2. C. [提示:将y=1代入方程得m的值,再将m代入m(x+4)=m(2x+4)] 3. C. [提示:设至多可打x折,可得方程解得x=0. 8] 4. D. [提示:方程是含未知数的等式] 5. B. [提示:设这个数为x. 可得方程. 解得x=-12. ] 6. A. [提示:设x年后,母亲的年龄是儿子的3倍,可得方程27+x=3(1+x)] 7. B. [提示:设原来速度为x千米/时,则x=60千米/时] 8. ,2y+1 [提示:根据等量关系甲数=2×乙数+1来解此题] 9. 19 [提示:设欢欢的生日为x号,可得方程x-1+x+1+x+7+x-7=76] 10. 350千米 [提示:设间接未知数,设原车速为x千米/时,则开通高速公路后,车速为(x+20)千米/时,列方程得7x=5(x+20),解得x=50,所以两地路程为7×50=350(千米). 11. ⑴去括号,得5x+40=12x-42+5 移项合并同类项,得7x=77 系数化1,得 x=11 ⑵去分母,得3(x+2)-2(2x-3)=12 去括号,得3x+6-4x+6=12 移项合并同类项,得 x=0 根据题意,可得方程=3 再解这个方程,得x=5 所以,当x=5时,代数式的值等于3. 12. 设每台彩电的原价格为x元,根据题意,列方程得 [(1+40%)x·0. 8-x] ×10=2700 解这个方程,得x=2250,答:每台彩电的原价为2250元. 13. 设这种储蓄的年利率为x,根据题意,列方程 3000+3000x·3=3243,解这个方程,得x=0. 027,即x=2. 7%, 答:这种储蓄的年利率为2. 7%. 14. 设三环路的车流量是每小时x辆,则四环路为(x+2000)辆,根据题意,列方程,得 3x-(x+2000)=2×10000,解得x=11000,所以x+2000=13000, 答:三环路的车流量为11000辆,四环路的车流量为13000辆. 第四章 图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 形状:方的、园的等 几何图形 大小:长度、面积、体积等 位置:相交、垂直、平行等 几何体也简称体(solid)。包围着体的是面(surface)。 常见的立体图形(solid figure):柱体、椎体、球体等各部分不都在一个平面内。在一个平面内就是平面图形(plane figure)。 展开图(net):识记一些常用的展开图。圆柱/圆锥的侧面展开图; 点线面体:是组成几何图形的基本元素。 4.2 直线、射线、线段 线段公理:两点的所有连线中,线段做短(两点之间,线段最短)。 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。 经过两点有一条直线,并且只有一条直线。两点确定一条直线。 4.3 角 定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫角。角的端点为顶点,两条射线为角的两边。 1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度 角的比较与运算 角的平分线: 如果两个角的和等于90度(直角),就说这两个叫互为余角(compiementary angle),即其中每一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和等于180度(平角),就说这两个叫互为补角(supplementary angle),即其中每一个角是另一个角的补角。 等角(同角)的补角相等。等角(同角)的余角相等。 实际运用:航海的坐标角度:“上北下南左西右东”. 4.4 设计制作长方形形状的包装纸盒
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